問題は2つあります。 (4) $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解してください。 (6) $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(4) $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解してください。

(6) $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

(4) $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$

まず、$x$ について整理します。

$3x^2 + (13-14y)x + (15y^2 - 23y + 4)$

定数項を因数分解します。

$15y^2 - 23y + 4 = (3y-4)(5y-1)$

$(3x + ay + b)(x + cy + d)$ の形を仮定して、因数分解を試みます。

$(3x + ay + b)(x + cy + d) = 3x^2 + (3c+a)xy + acy^2 + (3d+b)x + (ad+bc)y + bd$

$ac = 15$

$3c+a = -14$

$3d+b = 13$

$ad+bc = -23$

$bd = 4$

$15y^2 - 23y + 4 = (3y-4)(5y-1)$ から、

$a = -5$, $c = -3$, $b = -1$, $d = -4$ あるいは $a = -3$, $c = -5$, $b = -4$, $d = -1$ を試します。

$(3x - 5y - 1)(x - 3y - 4) = 3x^2 -9xy -12x - 5xy + 15y^2 + 20y - x + 3y + 4 = 3x^2 -14xy + 15y^2 -13x + 23y + 4$

符号が合わないので、$x, y$ の係数を反転させます。

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4) = 3x^2 -9xy +12x - 5xy + 15y^2 - 20y + x - 3y + 4 = 3x^2 -14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$

一致しました。

(6) $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$

$x$ について整理します。

$6x^2 - (7a+6)x + (2a^2 + 5a - 12)$

定数項を因数分解します。

$2a^2 + 5a - 12 = (2a-3)(a+4)$

$(3x+pa+q)(2x+ra+s)$ の形を仮定して、因数分解を試みます。

$6x^2 + (3r+2p)ax + pr a^2 + (3s+2q)x + (ps+qr)a + qs$

$pr = 2$

$3r+2p = -7$

$qs = -12$

$3s+2q = -6$

$ps+qr = 5$

$(2a-3)(a+4)$ から、$p=-1, r=-2, q=4, s=-3$ あるいは $p=-2, r=-1, q=-3, s=4$ を試します。

$(3x - a + 4)(2x - 2a - 3) = 6x^2 -6ax -9x - 2ax + 2a^2 + 3a + 8x - 8a - 12 = 6x^2 - 8ax + 2a^2 - x - 5a - 12$

$(3x - 2a - 3)(2x - a + 4) = 6x^2 -3ax + 12x - 4ax + 2a^2 - 8a - 6x + 3a - 12 = 6x^2 - 7ax + 2a^2 + 6x - 5a - 12$

符号が合わないので、$x$ の係数を反転させます。

$(3x - 2a + 3)(2x - a - 4) = 6x^2 -3ax -12x - 4ax + 2a^2 + 8a + 6x - 3a - 12 = 6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$

一致しました。

3. 最終的な答え

(4) $(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$

(6) $(3x - 2a + 3)(2x - a - 4)$