次の計算をせよ。 (1) $\frac{x}{x-1} \times \frac{x^2-1}{x^2-2x}$ (2) $\frac{x-3}{x+2} \div \frac{x^2-5x+6}{x^2-2x-8}$ (3) $\frac{2x-1}{x+3} \times \frac{x+3}{(x+2)(2x-1)}$ (4) $\frac{3x-2}{(x+1)^2} \div \frac{(3x-2)(x+4)}{(x+1)(x-2)}$

1. 問題の内容

次の計算をせよ。

(1) $\frac{x}{x-1} \times \frac{x^2-1}{x^2-2x}$

(2) $\frac{x-3}{x+2} \div \frac{x^2-5x+6}{x^2-2x-8}$

(3) $\frac{2x-1}{x+3} \times \frac{x+3}{(x+2)(2x-1)}$

(4) $\frac{3x-2}{(x+1)^2} \div \frac{(3x-2)(x+4)}{(x+1)(x-2)}$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{x}{x-1} \times \frac{x^2-1}{x^2-2x}$ を計算します。

まず、分子と分母を因数分解します。

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

$x^2-2x = x(x-2)$

よって、

$\frac{x}{x-1} \times \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-2)} = \frac{x(x-1)(x+1)}{(x-1)x(x-2)}$

$x$, $x-1$ を約分して、

$\frac{x+1}{x-2}$

(2)

$\frac{x-3}{x+2} \div \frac{x^2-5x+6}{x^2-2x-8}$ を計算します。

割り算を掛け算に変換します。

$\frac{x-3}{x+2} \times \frac{x^2-2x-8}{x^2-5x+6}$

分子と分母を因数分解します。

$x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)$

$x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$

よって、

$\frac{x-3}{x+2} \times \frac{(x-4)(x+2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{(x-3)(x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)(x-3)}$

$x-3$, $x+2$ を約分して、

$\frac{x-4}{x-2}$

(3)

$\frac{2x-1}{x+3} \times \frac{x+3}{(x+2)(2x-1)}$ を計算します。

$\frac{(2x-1)(x+3)}{(x+3)(x+2)(2x-1)}$

$2x-1$, $x+3$ を約分して、

$\frac{1}{x+2}$

(4)

$\frac{3x-2}{(x+1)^2} \div \frac{(3x-2)(x+4)}{(x+1)(x-2)}$ を計算します。

割り算を掛け算に変換します。

$\frac{3x-2}{(x+1)^2} \times \frac{(x+1)(x-2)}{(3x-2)(x+4)} = \frac{(3x-2)(x+1)(x-2)}{(x+1)^2(3x-2)(x+4)}$

$3x-2$, $x+1$ を約分して、

$\frac{x-2}{(x+1)(x+4)} = \frac{x-2}{x^2+5x+4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x+1}{x-2}$

(2) $\frac{x-4}{x-2}$

(3) $\frac{1}{x+2}$

(4) $\frac{x-2}{(x+1)(x+4)}$