(11) $\frac{x}{x^2+x-2} + \frac{2}{x^2+x-2}$ を計算してください。 (12) $\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x+1}$ を計算してください。

はい、承知いたしました。問題の画像にある数式を解きます。

1. 問題の内容

(11) $\frac{x}{x^2+x-2} + \frac{2}{x^2+x-2}$ を計算してください。

(12) $\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x+1}$ を計算してください。

2. 解き方の手順

(11)

まず、分母が共通なので、分子同士を足し合わせます。

$$\frac{x}{x^2+x-2} + \frac{2}{x^2+x-2} = \frac{x+2}{x^2+x-2}$$

次に、分母を因数分解します。

$$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$$

したがって、

$$\frac{x+2}{x^2+x-2} = \frac{x+2}{(x+2)(x-1)}$$

$x+2$ で約分できます。ただし、$x \neq -2$ である必要があります。

$$\frac{x+2}{(x+2)(x-1)} = \frac{1}{x-1}$$

(12)

通分するために、それぞれの分数に適切な因子をかけます。

$$\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{1(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)}$$

分子を展開して整理します。

$$x(x+1) - (x-1) = x^2 + x - x + 1 = x^2 + 1$$

分母を展開します。

$$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$$

したがって、

$$\frac{x(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$$

3. 最終的な答え

(11) $\frac{1}{x-1}$

(12) $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$