$(x-3y)^6$ を展開せよ。

1. 問題の内容

$(x-3y)^6$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

二項定理を利用して展開します。二項定理は次のように表されます。

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

ここで、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ です。

この問題では、$a = x$, $b = -3y$, $n = 6$ なので、

$$(x-3y)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} (-3y)^k$$

これを展開すると、

\begin{align*} (x-3y)^6 &= \binom{6}{0}x^6(-3y)^0 + \binom{6}{1}x^5(-3y)^1 + \binom{6}{2}x^4(-3y)^2 + \binom{6}{3}x^3(-3y)^3 \\ &+ \binom{6}{4}x^2(-3y)^4 + \binom{6}{5}x^1(-3y)^5 + \binom{6}{6}x^0(-3y)^6 \\ &= 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot (-3y) + 15 \cdot x^4 \cdot (9y^2) + 20 \cdot x^3 \cdot (-27y^3) \\ &+ 15 \cdot x^2 \cdot (81y^4) + 6 \cdot x \cdot (-243y^5) + 1 \cdot 1 \cdot (729y^6) \\ &= x^6 - 18x^5y + 135x^4y^2 - 540x^3y^3 + 1215x^2y^4 - 1458xy^5 + 729y^6\end{align*}

3. 最終的な答え

$x^6 - 18x^5y + 135x^4y^2 - 540x^3y^3 + 1215x^2y^4 - 1458xy^5 + 729y^6$