## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた7つの式を展開する問題です。

(1) $(a+3)^3$

(2) $(x-5)^3$

(3) $(4x-y)^3$

(4) $(5a+2b)^3$

(5) $(x+3)(x^2-3x+9)$

(6) $(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)$

(7) $(5x+4y)(25x^2-20xy+16y^2)$

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2. 解き方の手順

それぞれの式について、以下の手順で展開します。

(1) $(a+3)^3$

二項定理または $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を使って展開します。

$a=a$, $b=3$ なので、

$(a+3)^3 = a^3 + 3a^2(3) + 3a(3^2) + 3^3 = a^3 + 9a^2 + 27a + 27$

(2) $(x-5)^3$

二項定理または $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を使って展開します。

$a=x$, $b=5$ なので、

$(x-5)^3 = x^3 - 3x^2(5) + 3x(5^2) - 5^3 = x^3 - 15x^2 + 75x - 125$

(3) $(4x-y)^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を使って展開します。

$a=4x$, $b=y$ なので、

$(4x-y)^3 = (4x)^3 - 3(4x)^2(y) + 3(4x)(y^2) - y^3 = 64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3$

(4) $(5a+2b)^3$

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を使って展開します。

$a=5a$, $b=2b$ なので、

$(5a+2b)^3 = (5a)^3 + 3(5a)^2(2b) + 3(5a)(2b)^2 + (2b)^3 = 125a^3 + 150a^2b + 60ab^2 + 8b^3$

(5) $(x+3)(x^2-3x+9)$

これは和と差の積の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用します。

$a=x$, $b=3$ なので、

$(x+3)(x^2-3x+9) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27$

(6) $(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)$

これは和と差の積の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用します。

$a=2a$, $b=b$ なので、

$(2a-b)(4a^2+2ab+b^2) = (2a)^3 - b^3 = 8a^3 - b^3$

(7) $(5x+4y)(25x^2-20xy+16y^2)$

これは和と差の積の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用します。

$a=5x$, $b=4y$ なので、

$(5x+4y)(25x^2-20xy+16y^2) = (5x)^3 + (4y)^3 = 125x^3 + 64y^3$

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3. 最終的な答え

(1) $a^3 + 9a^2 + 27a + 27$

(2) $x^3 - 15x^2 + 75x - 125$

(3) $64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3$

(4) $125a^3 + 150a^2b + 60ab^2 + 8b^3$

(5) $x^3 + 27$

(6) $8a^3 - b^3$

(7) $125x^3 + 64y^3$