$(x + \frac{1}{2})^4$を展開してください。

1. 問題の内容

$(x + \frac{1}{2})^4$を展開してください。

2. 解き方の手順

二項定理を使います。二項定理は次の通りです。

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

ここで、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$です。

この問題では、$a = x$, $b = \frac{1}{2}$, $n = 4$なので、

$(x + \frac{1}{2})^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} (\frac{1}{2})^k$

これを展開すると、

$(x + \frac{1}{2})^4 = \binom{4}{0} x^4 (\frac{1}{2})^0 + \binom{4}{1} x^3 (\frac{1}{2})^1 + \binom{4}{2} x^2 (\frac{1}{2})^2 + \binom{4}{3} x^1 (\frac{1}{2})^3 + \binom{4}{4} x^0 (\frac{1}{2})^4$

各項を計算します。

$\binom{4}{0} = 1$, $\binom{4}{1} = 4$, $\binom{4}{2} = 6$, $\binom{4}{3} = 4$, $\binom{4}{4} = 1$

$(x + \frac{1}{2})^4 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot x \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{16}$

$(x + \frac{1}{2})^4 = x^4 + 2x^3 + \frac{3}{2} x^2 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}$

3. 最終的な答え

$x^4 + 2x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$