与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 8 & 6 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$ に対して、以下の計算を行います。 (1) $AB$ を計算する。 (2) $BA$ を計算する。 次に、$AB$ を行列 $C$、$BA$ を行列 $D$ とするとき、以下の計算を行います。 (1) $CD$ を計算する。 (2) ${}^t(CD)$ を計算する。 (${}^t$ は転置を表す)

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 8 & 6 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$ に対して、以下の計算を行います。

(1) $AB$ を計算する。

(2) $BA$ を計算する。

次に、$AB$ を行列 $C$、$BA$ を行列 $D$ とするとき、以下の計算を行います。

(1) $CD$ を計算する。

(2) ${}^t(CD)$ を計算する。 (${}^t$ は転置を表す)

2. 解き方の手順

問題1

(1) $AB$ の計算

行列の積 $AB$ は、以下のように計算します。

$$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 6 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(8) + 2(-3) & 1(6) + 2(4) \\ 0(8) + (-1)(-3) & 0(6) + (-1)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 - 6 & 6 + 8 \\ 0 + 3 & 0 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 14 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$$

(2) $BA$ の計算

行列の積 $BA$ は、以下のように計算します。

$$BA = \begin{bmatrix} 8 & 6 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8(1) + 6(0) & 8(2) + 6(-1) \\ -3(1) + 4(0) & -3(2) + 4(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 + 0 & 16 - 6 \\ -3 + 0 & -6 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 10 \\ -3 & -10 \end{bmatrix}$$

問題2

$C = AB = \begin{bmatrix} 2 & 14 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$ および $D = BA = \begin{bmatrix} 8 & 10 \\ -3 & -10 \end{bmatrix}$ とします。

(1) $CD$ の計算

行列の積 $CD$ は、以下のように計算します。

$$CD = \begin{bmatrix} 2 & 14 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 10 \\ -3 & -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(8) + 14(-3) & 2(10) + 14(-10) \\ 3(8) + (-4)(-3) & 3(10) + (-4)(-10) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 - 42 & 20 - 140 \\ 24 + 12 & 30 + 40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -26 & -120 \\ 36 & 70 \end{bmatrix}$$

(2) ${}^t(CD)$ の計算

行列 $CD$ の転置 ${}^t(CD)$ は、以下のように計算します。

$CD = \begin{bmatrix} -26 & -120 \\ 36 & 70 \end{bmatrix}$ なので、

$${}^t(CD) = \begin{bmatrix} -26 & 36 \\ -120 & 70 \end{bmatrix}$$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $AB = \begin{bmatrix} 2 & 14 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$

(2) $BA = \begin{bmatrix} 8 & 10 \\ -3 & -10 \end{bmatrix}$

問題2

(1) $CD = \begin{bmatrix} -26 & -120 \\ 36 & 70 \end{bmatrix}$

(2) ${}^t(CD) = \begin{bmatrix} -26 & 36 \\ -120 & 70 \end{bmatrix}$