一つ目は、行列の計算問題です。 $2\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 6 & -2 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \\ -1 & -3 & -5 \end{pmatrix}$ を計算します。 二つ目は、$X$と$Y$に関する連立方程式 $\begin{cases} 3X - Y = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 6 \\ 3 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & -2 \end{pmatrix} \\ 2X + Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{cases}$ を満たす3次正方行列$X, Y$を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いて回答します。

1. 問題の内容

一つ目は、行列の計算問題です。

$2\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 6 & -2 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \\ -1 & -3 & -5 \end{pmatrix}$

を計算します。

二つ目は、$X$と$Y$に関する連立方程式

$\begin{cases} 3X - Y = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 6 \\ 3 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & -2 \end{pmatrix} \\ 2X + Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{cases}$

を満たす3次正方行列$X, Y$を求めます。

2. 解き方の手順

一つ目の行列の計算問題：

まず、それぞれの行列をスカラー倍します。

$2\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 6 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 10 & -2 \\ 4 & 6 & 2 \\ 8 & 12 & -4 \end{pmatrix}$

$3\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \\ -1 & -3 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 3 \\ 15 & 9 & 3 \\ -3 & -9 & -15 \end{pmatrix}$

次に、これらの行列の差を計算します。

$\begin{pmatrix} 2 & 10 & -2 \\ 4 & 6 & 2 \\ 8 & 12 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -6 & 3 \\ 15 & 9 & 3 \\ -3 & -9 & -15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-3 & 10-(-6) & -2-3 \\ 4-15 & 6-9 & 2-3 \\ 8-(-3) & 12-(-9) & -4-(-15) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 16 & -5 \\ -11 & -3 & -1 \\ 11 & 21 & 11 \end{pmatrix}$

二つ目の連立方程式の問題：

連立方程式を加えることで、$Y$を消去します。

$3X - Y + 2X + Y = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 6 \\ 3 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

$5X = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 10 \\ 5 & 10 & 5 \\ 10 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 0 & 5 & 10 \\ 5 & 10 & 5 \\ 10 & 5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、$Y$を求めます。$2X + Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix}$より、

$Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} - 2X = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

一つ目の計算問題の答えは：

$\begin{pmatrix} -1 & 16 & -5 \\ -11 & -3 & -1 \\ 11 & 21 & 11 \end{pmatrix}$

二つ目の連立方程式の答えは：

$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$