与えられた連立方程式を満たす3次正方行列 $X$ と $Y$ を求める問題です。連立方程式は次の通りです。 $3X - Y = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 6 \\ 3 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & -2 \end{pmatrix}$ $2X + Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を満たす3次正方行列 $X$ と $Y$ を求める問題です。連立方程式は次の通りです。

$3X - Y = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 6 \\ 3 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & -2 \end{pmatrix}$

$2X + Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、$3X - Y = A$ と $2X + Y = B$ とおきます。ここで、

$A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 6 \\ 3 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & -2 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

連立方程式を解くために、$3X - Y = A$ と $2X + Y = B$ の二つの式を足し合わせます。

$(3X - Y) + (2X + Y) = A + B$

$5X = A + B$

$X = \frac{1}{5}(A + B)$

$A + B = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 6 \\ 3 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 10 \\ 5 & 10 & 5 \\ 10 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 0 & 5 & 10 \\ 5 & 10 & 5 \\ 10 & 5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、$Y$ を求めます。 $2X + Y = B$ より $Y = B - 2X$

$2X = 2\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

$Y = B - 2X = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$