写像 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$ を $f(n) = n^2 + 1$ で定義する。この写像が全射であるかどうか、単射であるかどうかを判定する。

1. 問題の内容

写像 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$ を $f(n) = n^2 + 1$ で定義する。この写像が全射であるかどうか、単射であるかどうかを判定する。

2. 解き方の手順

まず、全射であるかどうかを判定する。

写像 $f$ が全射であるとは、$\mathbb{N}$ の任意の要素 $m$ に対して、$f(n) = m$ となる整数 $n$ が存在することである。つまり、$n^2 + 1 = m$ となる整数 $n$ が存在するかどうかを考える。

$n^2 = m - 1$ となるので、$m - 1$ が平方数である必要がある。例えば、$m = 3$ とすると、$m - 1 = 2$ は平方数ではないので、$f(n) = 3$ となる整数 $n$ は存在しない。したがって、全射ではない。

次に、単射であるかどうかを判定する。

写像 $f$ が単射であるとは、異なる整数 $n_1$ と $n_2$ に対して、$f(n_1) \neq f(n_2)$ であることである。あるいは、$f(n_1) = f(n_2)$ ならば $n_1 = n_2$ であることである。

$f(n_1) = n_1^2 + 1$、$f(n_2) = n_2^2 + 1$ とする。

$f(n_1) = f(n_2)$ とすると、$n_1^2 + 1 = n_2^2 + 1$ より、$n_1^2 = n_2^2$ となる。

したがって、$n_1 = n_2$ または $n_1 = -n_2$ となる。

例えば、$n_1 = 1$、$n_2 = -1$ とすると、$f(1) = 1^2 + 1 = 2$、$f(-1) = (-1)^2 + 1 = 2$ となり、$f(1) = f(-1)$ であるが、$1 \neq -1$ である。したがって、単射ではない。

3. 最終的な答え

全射ではなく、単射でもない。