## 問題83

## 問題83

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1. 問題の内容

男子2人、女子5人の計7人から3人の代表を選ぶ。以下の確率を求める問題である。

(1) 男子Aが代表に入る確率

(2) 男子Aと女子Dが代表に入る確率

(3) 女子だけが代表に入る確率

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2. 解き方の手順

まず、3人の代表の選び方の総数を求める。これは7人から3人を選ぶ組み合わせなので、${}_7C_3$ で計算できる。

${}_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(1) 男子Aが代表に入る場合、残りの2人は残りの6人から選ぶことになる。その選び方は ${}_6C_2$ で計算できる。

${}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、求める確率は $\frac{15}{35} = \frac{3}{7}$ となる。

(2) 男子Aと女子Dが代表に入る場合、残りの1人は残りの5人から選ぶことになる。その選び方は ${}_5C_1$ で計算できる。

${}_5C_1 = 5$

したがって、求める確率は $\frac{5}{35} = \frac{1}{7}$ となる。

(3) 女子だけが代表に入る場合、3人とも女子である必要がある。女子は5人いるので、その選び方は ${}_5C_3$ で計算できる。

${}_5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$

したがって、求める確率は $\frac{10}{35} = \frac{2}{7}$ となる。

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3. 最終的な答え

(1) 男子Aが代表に入る確率：$\frac{3}{7}$

(2) 男子Aと女子Dが代表に入る確率：$\frac{1}{7}$

(3) 女子だけが代表に入る確率：$\frac{2}{7}$

## 問題84

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1. 問題の内容

A, B, Cの3人でじゃんけんを1回行うとき、以下の確率を求める問題である。

(1) Aがグーで1人勝ちする確率

(2) Aが1人だけ勝つ確率

(3) 1人だけ勝つ確率

(4) 2人が勝つ確率

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2. 解き方の手順

まず、じゃんけんの手の出し方の総数を求める。各人がグー、チョキ、パーの3通りの出し方があるので、全部で $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りとなる。

(1) Aがグーで1人勝ちする場合、Aはグーを出し、BとCはチョキを出す必要がある。これは1通りしかないので、確率は $\frac{1}{27}$ となる。

(2) Aが1人だけ勝つ場合、Aはグー、チョキ、パーのいずれかで勝ち、他の2人はAが出した手に負ける手を出す必要がある。

* Aがグーで勝つ場合：BとCはチョキを出す。（1通り）

* Aがチョキで勝つ場合：BとCはパーを出す。（1通り）

* Aがパーで勝つ場合：BとCはグーを出す。（1通り）

したがって、Aが1人勝ちする確率は $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$ となる。

(3) 1人だけ勝つ場合、A, B, Cの誰かが1人勝ちする。それぞれの場合に、勝つ手は3通りあるので、結局、1人だけが勝つ場合は3通りx3人=9通り。したがって、1人だけが勝つ確率は $\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$ となる。

(別解：(2)で求めたAが1人だけ勝つ確率は$\frac{1}{9}$であり、Bが1人だけ勝つ確率も$\frac{1}{9}$、Cが1人だけ勝つ確率も$\frac{1}{9}$なので、1人だけ勝つ確率は$\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$となる。)

(4) 2人が勝つ場合、3人の中から2人を選ぶ組み合わせは${}_3C_2 = 3$通りである。例えばAとBが勝つ場合、AとBは同じ手を出し、Cはそれらに負ける手を出す必要がある。

* AとBがグーで勝つ場合：Cはチョキを出す。（1通り）

* AとBがチョキで勝つ場合：Cはパーを出す。（1通り）

* AとBがパーで勝つ場合：Cはグーを出す。（1通り）

同様に、BとCが勝つ場合も3通り、AとCが勝つ場合も3通りあるので、合計で$3 \times 3 = 9$通りとなる。したがって、2人が勝つ確率は $\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$ となる。

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3. 最終的な答え

(1) Aがグーで1人勝ちする確率：$\frac{1}{27}$

(2) Aが1人だけ勝つ確率：$\frac{1}{9}$

(3) 1人だけ勝つ確率：$\frac{1}{3}$

(4) 2人が勝つ確率：$\frac{1}{3}$