この問題は、根号を含む数の変形に関する3つのタイプの問題から構成されています。 (1) $a\sqrt{b}$ の形の数を $\sqrt{a}$ の形に変換する。 (2) $\sqrt{a}$ の形の数を $a\sqrt{b}$ の形に変換する。 (3) 分母に根号を含む数の分母を有理化する。

1. 問題の内容

この問題は、根号を含む数の変形に関する3つのタイプの問題から構成されています。

(1) $a\sqrt{b}$ の形の数を $\sqrt{a}$ の形に変換する。

(2) $\sqrt{a}$ の形の数を $a\sqrt{b}$ の形に変換する。

(3) 分母に根号を含む数の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

(1) $a\sqrt{b}$ の形の数を $\sqrt{a}$ の形に変換する。

$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ を用いる。

(1) $2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{40}$

(2) $5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{50}$

(3) $3\sqrt{7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = \sqrt{63}$

(4) $4\sqrt{6} = \sqrt{4^2 \cdot 6} = \sqrt{96}$

(5) $\frac{\sqrt{11}}{3} = \sqrt{\frac{11}{3^2}} = \sqrt{\frac{11}{9}}$

(6) $\sqrt{\frac{43}{5}} = \sqrt{\frac{43}{25}}$

(2) $\sqrt{a}$ の形の数を $a\sqrt{b}$ の形に変換する。

$\sqrt{a}$ の中の $a$ を素因数分解し、平方数の積の形にする。

$\sqrt{a} = \sqrt{m^2 \cdot n} = m\sqrt{n}$ を用いる。

(1) $\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{45} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

(3) $\sqrt{98} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{68} = \sqrt{2^2 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$

(5) $\sqrt{80} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

(6) $\sqrt{\frac{18}{81}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3^2}{9^2}} = \frac{3}{9}\sqrt{2} = \frac{1}{3}\sqrt{2}$

(3) 分母に根号を含む数の分母を有理化する。

分母と分子に同じ数をかけ、分母に根号がない形にする。

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14}}{7}$

(3) $\frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$

(4) $\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{6}}{3} = 3\sqrt{6}$

(5) $\frac{1}{\sqrt{20}} = \frac{1}{\sqrt{2^2 \cdot 5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}$

(6) $\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{24}} = \frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{2^2 \cdot 6}} = \frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{15}\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{90}}{6} = \frac{\sqrt{3^2 \cdot 10}}{6} = \frac{3\sqrt{10}}{6} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

1. 根号をふくむ数の変形① ($\sqrt{a}$への変形)

(1) $\sqrt{40}$

(2) $\sqrt{50}$

(3) $\sqrt{63}$

(4) $\sqrt{96}$

(5) $\sqrt{\frac{11}{9}}$

(6) $\sqrt{\frac{43}{5}}$

2. 根号をふくむ数の変形② ($a\sqrt{b}$への変形)

(1) $2\sqrt{3}$

(2) $3\sqrt{5}$

(3) $7\sqrt{2}$

(4) $2\sqrt{17}$

(5) $4\sqrt{5}$

(6) $\frac{1}{3}\sqrt{2}$

3. 根号をふくむ数の変形③ (分母の有理化)

(1) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{\sqrt{14}}{7}$

(3) $\sqrt{6}$

(4) $3\sqrt{6}$

(5) $\frac{\sqrt{5}}{10}$

(6) $\frac{\sqrt{10}}{2}$