点(3, 6)を通り、円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ に接する直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点(3, 6)を通り、円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ に接する直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の中心をA(1, 2)とする。

求める直線の方程式を $y = m(x - 3) + 6$ とおく。これは $mx - y - 3m + 6 = 0$ と表せる。

直線が円に接するという条件は、円の中心から直線までの距離が円の半径に等しいことである。

円の半径は $\sqrt{4} = 2$ である。

点A(1, 2)と直線 $mx - y - 3m + 6 = 0$ の距離をdとすると、

$d = \frac{|m(1) - (2) - 3m + 6|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2m + 4|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$d = 2$ より

$\frac{|-2m + 4|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$

両辺を2で割ると

$\frac{|-m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$

両辺を2乗すると

$\frac{(-m + 2)^2}{m^2 + 1} = 1$

$(-m + 2)^2 = m^2 + 1$

$m^2 - 4m + 4 = m^2 + 1$

$-4m = -3$

$m = \frac{3}{4}$

したがって、接線の方程式は

$y = \frac{3}{4}(x - 3) + 6$

$y = \frac{3}{4}x - \frac{9}{4} + 6$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{15}{4}$

両辺に4を掛けて

$4y = 3x + 15$

$3x - 4y + 15 = 0$

また、x=3,y=6を円の方程式に代入すると

$(3-1)^2+(6-2)^2 = 2^2+4^2 = 4+16=20 \neq 4$

なので、点(3,6)は円周上にはありません。

直線 $x=3$ も解となりえます。$x=3$を円の方程式に代入すると

$(3-1)^2+(y-2)^2=4$

$4+(y-2)^2=4$

$(y-2)^2=0$

$y=2$

よって点$(3,2)$で接します。

3. 最終的な答え

$3x - 4y + 15 = 0$ または $x = 3$