線分DJを1:5に外分する点をAからMの中から選びなさい。

1. 問題の内容

線分DJを1:5に外分する点をAからMの中から選びなさい。

2. 解き方の手順

外分とは、線分の延長線上にある点において、その線分を指定された比率に分割することを指します。線分DJを1:5に外分する点とは、点Xがあったとして、線分DX : 線分JX = 1:5を満たす点Xを求めることを意味します。

線分DJはD, E, F, G, H, I, Jの7つの区間で構成されています。

外分点XはDよりも左にある場合と、Jよりも右にある場合が考えられます。

* もしXがDよりも左にある場合、線分DXは負の長さを持つことになります。

線分DX:線分JX=1:5を満たす点Xを考えます。

区間の長さを1とすると、

-線分CDの長さは1

-線分BDの長さは2

-線分ADの長さは3

線分JXは線分DJ+DXの長さとなります。

この問題の場合、線分DX : 線分JX = 1 : 5を満たす点Xを求めるので、

XがCだとすると、線分DX=1、線分JX=6なので、1:6

XがBだとすると、線分DX=2、線分JX=7なので、2:7

XがAだとすると、線分DX=3、線分JX=8なので、3:8

* もしXがJよりも右にある場合、線分DXと線分JXの比率を考えます。

線分DX:線分JX=1:5を満たす点Xを考えます。

区間の長さを1とすると、

-線分JKの長さは1

-線分JLの長さは2

-線分JMの長さは3

線分DXは線分DJ+JXの長さとなります。線分DJの長さは6です。

線分DX=6+JX

線分DX:線分JX=1:5より、線分JX=5DX

JX=5(DJ+JX)

JX=5(6+JX)

JX=30+5JX

-30=4JX

JX=-7.5

これはありえないので、計算が間違っている。

線分DX:線分JX=1:5なので、5DX=JXとなる。

5(DJ+XJ)=XJ となる。

5DJ+5XJ = XJ

5DJ = -4XJ

5 * 6 = -4XJ

30=-4XJ

XJ=-7.5

これもおかしい。

外分比の公式を使う。

線分DJを1:5に外分する点Xの位置ベクトルをxとすると、

$x = \frac{5d - j}{5-1} = \frac{5d - j}{4}$

Dを始点とすると、

$x = d + \frac{-1}{5-1}(j-d) = d - \frac{1}{4}(j-d)$

$x = d - \frac{1}{4} DJ$

$DJ=6$なので、$x = d - \frac{6}{4} = d - \frac{3}{2}$

Dより左に1.5個分離れた点が答え。

よって答えはB。

3. 最終的な答え

B