円の方程式 $x^2 + y^2 - 2x + 6y + n - 1 = 0$ が半径3の円を表すとき、定数 $n$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

円の方程式 $x^2 + y^2 - 2x + 6y + n - 1 = 0$ が半径3の円を表すとき、定数 $n$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式を標準形に変形します。

$x^2 + y^2 - 2x + 6y + n - 1 = 0$

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) = 1 - n$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = 1 - n + 1 + 9$

$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 11 - n$

この式は、中心が $(1, -3)$ で半径が $\sqrt{11 - n}$ の円を表します。

問題文より、この円の半径は3なので、

$\sqrt{11 - n} = 3$

両辺を2乗して、

$11 - n = 9$

$n = 11 - 9$

$n = 2$

3. 最終的な答え

$n = 2$