(2)の問題では、ベクトルの大きさ$|\vec{a}| = \sqrt{3}$、ベクトルの大きさ$|\vec{b}| = 4$、内積$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$が与えられています。このとき、以下の2つの問いに答えます。 1. $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$を$|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を用いて表します。 2. $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$であることを利用して、$|\vec{a} + \vec{b}|$を求めます。

1. 問題の内容

(2)の問題では、ベクトルの大きさ$|\vec{a}| = \sqrt{3}$、ベクトルの大きさ$|\vec{b}| = 4$、内積$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$が与えられています。このとき、以下の2つの問いに答えます。

1. $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$を$|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を用いて表します。

2. $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$であることを利用して、$|\vec{a} + \vec{b}|$を求めます。

2. 解き方の手順

(1)の問題：

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$を展開します。内積の性質を利用して、以下のように変形します。

$$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$$

(2)の問題：

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$であり、(1)で$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$を求めました。

これに、$|\vec{a}| = \sqrt{3}$、$|\vec{b}| = 4$、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$を代入します。

$$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(3) + (4)^2 = 3 + 6 + 16 = 25$$

したがって、$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{25} = 5$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

(2) $|\vec{a} + \vec{b}| = 5$