長方形の体育館の周りに幅 $a$ の通路があり、通路の真ん中を通る線の長さを $l$、通路の面積を $S$ とするとき、$S = al$ となることを証明する問題です。問題文中の空欄ア～エを埋める必要があります。

1. 問題の内容

長方形の体育館の周りに幅 $a$ の通路があり、通路の真ん中を通る線の長さを $l$、通路の面積を $S$ とするとき、$S = al$ となることを証明する問題です。問題文中の空欄ア～エを埋める必要があります。

2. 解き方の手順

(通路の面積) = (大きい長方形の面積) - (体育館の面積) より

通路の面積 $S$ は、大きい長方形の面積 $(x+2a)(y+2a)$ から体育館の面積 $xy$ を引いたものです。

$S = (x+2a)(y+2a) - xy$

$= xy + 2ax + 2ay + 4a^2 - xy$

$= 2ax + 2ay + 4a^2$

$= 2a(x + y + 2a)$ …(1)

通路の真ん中を通る線は、縦 $(x+a)$ m、横 $(y+a)$ m の長方形の辺になるので、その長さ $l$ は

$l = 2(x+a) + 2(y+a)$

$= 2x + 2a + 2y + 2a$

$= 2x + 2y + 4a$

$= 2(x+y+2a)$

よって、$al = a \times 2(x+y+2a)$ …(2)

したがって、(1)と(2)より、$S = al$ が成り立つ。

空欄を埋める箇所は以下の通りです。

* ア: $x+2a$

* イ: $2ax + 2ay + 4a^2$

* ウ: $x + y + 2a$

* エ: $y+a$

3. 最終的な答え

* ア: $x+2a$

* イ: $2ax + 2ay + 4a^2$

* ウ: $x + y + 2a$

* エ: $y+a$