定数 $a > 1$ とする。点 $(a, 0)$ を通る傾き $m$ の直線と円 $x^2 + y^2 = 1$ が異なる2点 A, B で交わるとき、以下の問いに答えよ。 (1) $m$ の値の範囲を求めよ。 (2) (1) で求めた範囲を $m$ が動くとき、線分 AB の中点の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a > 1$ とする。点 $(a, 0)$ を通る傾き $m$ の直線と円 $x^2 + y^2 = 1$ が異なる2点 A, B で交わるとき、以下の問いに答えよ。

(1) $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) (1) で求めた範囲を $m$ が動くとき、線分 AB の中点の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点 $(a, 0)$ を通る傾き $m$ の直線の方程式は、

$y = m(x-a)$

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = m(x-a)$ が異なる2点で交わる条件は、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $y = m(x-a)$ の距離 $d$ が、円の半径 $1$ より小さいことである。

直線の方程式を変形すると、 $mx - y - ma = 0$ となるから、点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|m(0) - (0) - ma|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|ma|}{\sqrt{m^2+1}}$

$d < 1$ より、

$\frac{|ma|}{\sqrt{m^2+1}} < 1$

両辺を2乗して整理すると、

$m^2 a^2 < m^2 + 1$

$(a^2 - 1) m^2 < 1$

$m^2 < \frac{1}{a^2 - 1}$

$-\frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}} < m < \frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}}$

(2)

線分 AB の中点を (X, Y) とする。

中点 (X, Y) は、円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点ではないが、直線 $y = m(x-a)$ 上の点であるので、

$Y = m(X-a)$

$m = \frac{Y}{X-a}$

(1) で求めた $m$ の範囲に代入すると、

$-\frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}} < \frac{Y}{X-a} < \frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}}$

$\frac{Y^2}{(X-a)^2} < \frac{1}{a^2 - 1}$

$Y^2 < \frac{(X-a)^2}{a^2 - 1}$

$(a^2 - 1)Y^2 < (X-a)^2$

$(X-a)^2 - (a^2 - 1)Y^2 > 0$

線分ABの中点 (X, Y) は、直線と円の中心を結ぶ直線に垂直な直線上にある。

円の中心と (X, Y) を結ぶ直線の傾きは $\frac{Y}{X}$

直線 $y = m(x-a)$ の傾きは $m = \frac{Y}{X-a}$

$\frac{Y}{X} \times \frac{Y}{X-a} = -1$

$Y^2 = -X(X-a)$

$X^2 + Y^2 - aX = 0$

$(X-\frac{a}{2})^2 + Y^2 = (\frac{a}{2})^2$

中点の軌跡は中心 $(\frac{a}{2}, 0)$, 半径 $\frac{a}{2}$ の円になる。ただし, この円は $x^2 + y^2 = 1$ の内部にある。

つまり、 $(\frac{a}{2})^2 < 1$ である必要があり、$a<2$ となる。

$a > 1$ より、$1 < a < 2$。

$X^2 + Y^2 = 1$ より、$X < 1$

$X = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} cos \theta$, $Y = \frac{a}{2} sin \theta$

$X < 1$ より、$cos \theta < \frac{2-a}{a}$

したがって、求める軌跡は、円 $(x - \frac{a}{2})^2 + y^2 = (\frac{a}{2})^2$ の $x < 1$ の部分。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}} < m < \frac{1}{\sqrt{a^2 - 1}}$

(2) 円 $(x - \frac{a}{2})^2 + y^2 = (\frac{a}{2})^2$ の $x < 1$ の部分