四つの点 $A(-1, 3)$, $B(2, 1)$, $C(11, b)$, $D(a, 1)$ が与えられている。四角形 $ABCD$ が平行四辺形であるとき、$a$, $b$ の値を求めよ。また、辺 $AB$, 辺 $AD$ の長さ、および2本の対角線（$AC$と$BD$）の長さを求めよ。

1. 問題の内容

四つの点 $A(-1, 3)$, $B(2, 1)$, $C(11, b)$, $D(a, 1)$ が与えられている。四角形 $ABCD$ が平行四辺形であるとき、$a$, $b$ の値を求めよ。また、辺 $AB$, 辺 $AD$ の長さ、および2本の対角線（$AC$と$BD$）の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

平行四辺形の性質より、向かい合う辺のベクトルが等しい。つまり、$\vec{AB} = \vec{DC}$ および $\vec{AD} = \vec{BC}$ が成り立つ。

$\vec{AB} = (2 - (-1), 1 - 3) = (3, -2)$

$\vec{DC} = (11 - a, b - 1)$

$\vec{AD} = (a - (-1), 1 - 3) = (a + 1, -2)$

$\vec{BC} = (11 - 2, b - 1) = (9, b - 1)$

$\vec{AB} = \vec{DC}$ より、$3 = 11 - a$ かつ $-2 = b - 1$。これから、$a = 11 - 3 = 8$ および $b = -2 + 1 = -1$。

$\vec{AD} = \vec{BC}$ より、$a + 1 = 9$ かつ $-2 = b - 1$。これから、$a = 9 - 1 = 8$ および $b = -2 + 1 = -1$。

したがって、$a = 8$ かつ $b = -1$。

次に、辺 $AB$ の長さを計算する。

$|AB| = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

次に、辺 $AD$ の長さを計算する。

$|AD| = \sqrt{(8 - (-1))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{9^2 + (-2)^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}$

次に、対角線 $AC$ の長さを計算する。

$|AC| = \sqrt{(11 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{12^2 + (-4)^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$

次に、対角線 $BD$ の長さを計算する。

$|BD| = \sqrt{(8 - 2)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = -1$

$|AB| = \sqrt{13}$

$|AD| = \sqrt{85}$

$|AC| = 4\sqrt{10}$

$|BD| = 6$