与えられた図のベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ について、以下の内積を求めます。 (1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (2) $\vec{a} \cdot \vec{c}$ (3) $\vec{b} \cdot \vec{c}$ (4) $\vec{b} \cdot \vec{b}$ (5) $\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c})$ (6) $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{b}+\vec{c})$ さらに、$|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ のとき、$|\vec{a} + \vec{b}|$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた図のベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ について、以下の内積を求めます。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{c}$

(3) $\vec{b} \cdot \vec{c}$

(4) $\vec{b} \cdot \vec{b}$

(5) $\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c})$

(6) $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{b}+\vec{c})$

さらに、$|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ のとき、$|\vec{a} + \vec{b}|$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 図からベクトルを成分で表します。

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) 各内積を計算します。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 0 + 2 = 2$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 0 + 2 = 2$

(3) $\vec{b} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 4 + 1 = 5$

(4) $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

(5) $\vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} 2+2 \\ 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 0 + 4 = 4$

(6) $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 0+2 \\ 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 8 + 6 = 14$

(3) $|\vec{a} + \vec{b}|$ を求めます。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

与えられた値 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ を代入します。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 3 + 4^2 = 3 + 6 + 16 = 25$

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{25} = 5$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{c} = 2$

(3) $\vec{b} \cdot \vec{c} = 5$

(4) $\vec{b} \cdot \vec{b} = 5$

(5) $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 4$

(6) $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 14$

$|\vec{a} + \vec{b}| = 5$