(1) 直線 $l: 2x-y-4=0$ に関して点 $A(1, 3)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。また、$C(3, 5)$ とし、$P$ を直線 $l$ 上の点とするとき、$AP + PC$ が最小になるような点 $P$ の座標を求めよ。 (2) $x, y$ を実数とする。$x^2 + y^2 = 1$ のとき、$2x + y$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 直線 $l: 2x-y-4=0$ に関して点 $A(1, 3)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。また、$C(3, 5)$ とし、$P$ を直線 $l$ 上の点とするとき、$AP + PC$ が最小になるような点 $P$ の座標を求めよ。

(2) $x, y$ を実数とする。$x^2 + y^2 = 1$ のとき、$2x + y$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点 $B$ の座標を $(s, t)$ とおく。

$A$ と $B$ が直線 $l$ に関して対称である条件は、線分 $AB$ の中点が直線 $l$ 上にあり、かつ直線 $AB$ が直線 $l$ と垂直であることである。

線分 $AB$ の中点は $(\frac{1+s}{2}, \frac{3+t}{2})$ であるから、これが $l$ 上にある条件は

$2(\frac{1+s}{2}) - (\frac{3+t}{2}) - 4 = 0$

$2(1+s) - (3+t) - 8 = 0$

$2s - t - 9 = 0$

$t = 2s - 9$ ...(1)

直線 $AB$ の傾きは $\frac{t-3}{s-1}$ であり、直線 $l$ の傾きは $2$ である。直線 $AB$ と $l$ が垂直である条件は

$\frac{t-3}{s-1} \times 2 = -1$

$2(t-3) = - (s-1)$

$2t - 6 = -s + 1$

$s + 2t = 7$ ...(2)

(1) を (2) に代入して、

$s + 2(2s - 9) = 7$

$s + 4s - 18 = 7$

$5s = 25$

$s = 5$

(1) より $t = 2 \times 5 - 9 = 10 - 9 = 1$

したがって、点 $B$ の座標は $(5, 1)$ である。

次に、$AP + PC$ が最小となる点 $P$ の座標を求める。点 $A$ の直線 $l$ に関する対称点が点 $B$ であるから、$AP = BP$。よって、$AP + PC = BP + PC$ となる。$BP + PC$ が最小となるのは、$B, P, C$ が一直線上にあるときである。

直線 $BC$ の方程式を求める。

傾きは $\frac{5-1}{3-5} = \frac{4}{-2} = -2$

点 $(5, 1)$ を通るので、

$y - 1 = -2(x - 5)$

$y = -2x + 10 + 1$

$y = -2x + 11$

点 $P$ は直線 $l$ 上にあるので、$y = 2x - 4$ である。

$-2x + 11 = 2x - 4$

$4x = 15$

$x = \frac{15}{4}$

$y = 2 \times \frac{15}{4} - 4 = \frac{15}{2} - \frac{8}{2} = \frac{7}{2}$

したがって、点 $P$ の座標は $(\frac{15}{4}, \frac{7}{2})$ である。

(2)

$x = \cos\theta, y = \sin\theta$ とおく。

$2x + y = 2\cos\theta + \sin\theta$

三角関数の合成により、

$2\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2^2 + 1^2} \sin(\theta + \alpha) = \sqrt{5} \sin(\theta + \alpha)$

ここで $\alpha$ は $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ を満たす角である。

$-1 \leq \sin(\theta + \alpha) \leq 1$ より、

$-\sqrt{5} \leq \sqrt{5} \sin(\theta + \alpha) \leq \sqrt{5}$

したがって、$2x + y$ の最大値は $\sqrt{5}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標は $(5, 1)$ であり、点Pの座標は $(\frac{15}{4}, \frac{7}{2})$ である。

(2) $2x + y$ の最大値は $\sqrt{5}$ である。