2つの問題があります。 問題22：原点を通り、直線 $y=x$ とのなす角が $\frac{\pi}{6}$ である直線の方程式を求める問題です。 問題23：$\sin\alpha - \sin\beta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\alpha + \cos\beta = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき、$\cos(\alpha+\beta)$ の値を求める問題です。 まずは問題23を解きます。

1. 問題の内容

2つの問題があります。

問題22：原点を通り、直線 $y=x$ とのなす角が $\frac{\pi}{6}$ である直線の方程式を求める問題です。

問題23：$\sin\alpha - \sin\beta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\alpha + \cos\beta = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき、$\cos(\alpha+\beta)$ の値を求める問題です。

まずは問題23を解きます。

2. 解き方の手順

問題23：$\sin\alpha - \sin\beta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\alpha + \cos\beta = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき、$\cos(\alpha+\beta)$ の値を求めます。

三角関数の和積の公式を使います。

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

これらの式を問題の式に代入すると、

$2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

これらの式をそれぞれ2で割ると

$\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

これらの式を辺々割ると、

$\frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}} = \tan\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

したがって、$\tan\frac{\alpha-\beta}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ です。

ここで、$x=\frac{\alpha+\beta}{2}, y=\frac{\alpha-\beta}{2}$ と置くと、

$\sin y = -\frac{\sqrt{2}}{4\cos x}, \cos y = \frac{\sqrt{6}}{4\cos x}$ です。

$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ より、

$\frac{2}{16\cos^2 x} + \frac{6}{16\cos^2 x} = 1$

$\frac{8}{16\cos^2 x} = 1$

$\cos^2 x = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\frac{\alpha+\beta}{2} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、$\frac{\alpha+\beta}{2} = \pm\frac{\pi}{4} + 2n\pi$ です。

$\cos(\alpha+\beta) = 2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} - 1 = 2(\frac{1}{2}) - 1 = 0$

次に問題22を解きます。

原点を通り、直線 $y=x$ とのなす角が $\frac{\pi}{6}$ である直線の方程式を求めます。

直線 $y=x$ の傾きは1なので、$\tan \theta = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

求める直線の傾きを $m$ とすると、求める直線と $y=x$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ であるので、

$\tan \frac{\pi}{6} = \left|\frac{m-1}{1+m}\right|$

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left|\frac{m-1}{1+m}\right|$

$\frac{m-1}{1+m} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

(1) $\frac{m-1}{1+m} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、

$\sqrt{3}(m-1) = 1+m$

$\sqrt{3}m - \sqrt{3} = 1+m$

$(\sqrt{3}-1)m = 1+\sqrt{3}$

$m = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{(1+\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{1+2\sqrt{3}+3}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

よって、$y=(2+\sqrt{3})x$

(2) $\frac{m-1}{1+m} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、

$\sqrt{3}(m-1) = -1-m$

$\sqrt{3}m - \sqrt{3} = -1-m$

$(\sqrt{3}+1)m = \sqrt{3}-1$

$m = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

よって、$y=(2-\sqrt{3})x$

3. 最終的な答え

問題23：$\cos(\alpha+\beta) = 0$

問題22：$y=(2+\sqrt{3})x$, $y=(2-\sqrt{3})x$