2地点A, Bから用水路を隔てた対岸の2地点C, Dを観測した結果、以下の値が得られた。 $AB = 20 m$ $\angle CAB = 90^\circ$ $\angle CBA = 45^\circ$ $\angle DAB = 60^\circ$ $\angle DBA = 75^\circ$ (1) ABの長さ(m), 観測した角度(°)とともに、4地点A, B, C, Dを図示せよ。 (2) BDおよびBCの長さ(m)を求めよ。 (3) CDの長さ(m)を求めよ。

1. 問題の内容

2地点A, Bから用水路を隔てた対岸の2地点C, Dを観測した結果、以下の値が得られた。

$AB = 20 m$

$\angle CAB = 90^\circ$

$\angle CBA = 45^\circ$

$\angle DAB = 60^\circ$

$\angle DBA = 75^\circ$

(1) ABの長さ(m), 観測した角度(°)とともに、4地点A, B, C, Dを図示せよ。

(2) BDおよびBCの長さ(m)を求めよ。

(3) CDの長さ(m)を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 図示について：

問題文の条件から、地点A, B, C, Dの位置関係および角度を把握し、図示する。ABの長さは20mである。$\angle CAB = 90^\circ$, $\angle CBA = 45^\circ$ より、三角形ABCは直角二等辺三角形である。$\angle DAB = 60^\circ$, $\angle DBA = 75^\circ$ より、三角形ABDの位置関係もわかる。

(2) BDおよびBCの長さを求める。

まず、三角形ABCについて、$\angle CAB = 90^\circ$, $\angle CBA = 45^\circ$ より、三角形ABCは直角二等辺三角形であるから、$AC = AB = 20$。

したがって、$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{2 \cdot 20^2} = 20\sqrt{2}$。

次に、三角形ABDについて、$\angle DAB = 60^\circ$, $\angle DBA = 75^\circ$ であるから、$\angle ADB = 180^\circ - (60^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$。

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin{\angle ADB}} = \frac{BD}{\sin{\angle DAB}}$

$\frac{20}{\sin{45^\circ}} = \frac{BD}{\sin{60^\circ}}$

$BD = \frac{20 \sin{60^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{6}$

(3) CDの長さを求める。

三角形ACDにおいて、$AC = 20$、$\angle CAD = \angle DAB - \angle CAB = 60^\circ - 0^\circ = 60^\circ$、$\angle BAD=60^\circ$。

$AD$の長さを求める。$\frac{AB}{\sin{\angle ADB}} = \frac{AD}{\sin{\angle DBA}}$より

$\frac{20}{\sin{45^\circ}} = \frac{AD}{\sin{75^\circ}}$

$AD = \frac{20 \sin{75^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 10(\sqrt{3}+1)$

三角形BCDにおいて、$BC = 20\sqrt{2}$、$\angle CBD = \angle DBA - \angle CBA = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$

$BD = 10\sqrt{6}$

三角形ACDにおいて、$AC = 20$, $AD = 10(\sqrt{3} + 1)$, $\angle CAD = 60^\circ$

余弦定理より、$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos{\angle CAD}$

$CD^2 = 20^2 + (10(\sqrt{3} + 1))^2 - 2 \cdot 20 \cdot 10(\sqrt{3} + 1) \cdot \cos{60^\circ}$

$CD^2 = 400 + 100(3 + 2\sqrt{3} + 1) - 400(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{1}{2}$

$CD^2 = 400 + 100(4 + 2\sqrt{3}) - 200(\sqrt{3} + 1)$

$CD^2 = 400 + 400 + 200\sqrt{3} - 200\sqrt{3} - 200$

$CD^2 = 800 - 200 = 600$

$CD = \sqrt{600} = 10\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(2) $BD = 10\sqrt{6}$ m, $BC = 20\sqrt{2}$ m

(3) $CD = 10\sqrt{6}$ m