2つの円 $C: (x-2)^2 + (y-2)^2 = 5$ と $D: x^2 + (y+1)^2 = 2$ の交点をP, Qとする。3点P, Q, R(1, 2)を通る円の中心と半径を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

2つの円 $C: (x-2)^2 + (y-2)^2 = 5$ と $D: x^2 + (y+1)^2 = 2$ の交点をP, Qとする。3点P, Q, R(1, 2)を通る円の中心と半径を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの円の交点P, Qを通る円の方程式は、実数$k$を用いて

$(x-2)^2 + (y-2)^2 - 5 + k(x^2 + (y+1)^2 - 2) = 0$

と表せる。この円が点R(1, 2)を通るので、代入すると

$(1-2)^2 + (2-2)^2 - 5 + k(1^2 + (2+1)^2 - 2) = 0$

$1 - 5 + k(1+9-2) = 0$

$-4 + 8k = 0$

$k = \frac{1}{2}$

これを代入して

$(x-2)^2 + (y-2)^2 - 5 + \frac{1}{2}(x^2 + (y+1)^2 - 2) = 0$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 - 5 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}(y^2 + 2y + 1) - 1 = 0$

$x^2 - 4x + y^2 - 4y + 3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 + y + \frac{1}{2} - 1 = 0$

$\frac{3}{2}x^2 - 4x + \frac{3}{2}y^2 - 3y + \frac{5}{2} = 0$

$3x^2 - 8x + 3y^2 - 6y + 5 = 0$

$x^2 - \frac{8}{3}x + y^2 - 2y + \frac{5}{3} = 0$

$(x - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9} + (y-1)^2 - 1 + \frac{5}{3} = 0$

$(x - \frac{4}{3})^2 + (y-1)^2 = \frac{16}{9} + 1 - \frac{15}{9} = \frac{16+9-15}{9} = \frac{10}{9}$

よって、中心は $(\frac{4}{3}, 1)$、半径は $\sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

中心: $(\frac{4}{3}, 1)$

半径: $\frac{\sqrt{10}}{3}$