## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

三角形ABCの重心をGとする。A, B, CとGを結ぶ直線がBC, CA, ABと交わる点をそれぞれD, E, Fとする。

(1) 三角形EFGの面積をSとするとき、三角形BCGと三角形AFEの面積をSを用いて表せ。

(2) 三角形ABCの面積は、四角形AFGEの何倍になるかを求めよ。

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2. 解き方の手順

(1)

重心Gは中線を2:1に内分する。したがって、線分AD, BE, CFは中線であり、それぞれBC, CA, ABの中点である。

三角形EFGと三角形ABCの関係を調べるために、面積比を求める。メネラウスの定理より、

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$ が成り立つ。

$AF = FB, BD = DC, CE = EA$ より、$\frac{AF}{FB} = \frac{BD}{DC} = \frac{CE}{EA} = 1$ である。

また、三角形AFE, BDF, CDEはそれぞれ合同であり、三角形ABCの面積の1/4に等しい。

三角形AFEの面積は三角形ABCの面積の1/4である。

三角形EFGの面積Sは、三角形ABCの面積から三角形AFE, BDF, CDEの面積を引いたものに等しい。

したがって、三角形EFGの面積Sは、三角形ABCの面積の1/7である。

ゆえに三角形ABCの面積は7Sである。

三角形BCGの面積は三角形ABCの面積の1/3であるため、三角形BCGの面積は $\frac{7}{3}S$である。

三角形AFEの面積は三角形ABCの面積の1/4であるため、三角形AFEの面積は $\frac{7}{4}S$である。

三角形AFEの面積は $\frac{7}{4}S$ ではなく、 $\frac{1}{7}$ x 三角形ABC の面積 x $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{4} S$ ではない

三角形ABCの面積は7S, 三角形AFE = (1/4)* (7S)

三角形BCG = 1/3 * (7S) = 7/3 S

(2)

四角形AFGEの面積は、三角形ABCの面積から三角形BCGと三角形EFGの面積を引いたものに等しい。

したがって、四角形AFGEの面積は $7S - \frac{7}{3}S - S = \frac{11}{3}S$ である。

三角形ABCの面積は7Sなので、四角形AFGEの $\frac{11}{3}S$ の何倍になるかを求めればよい。

$\frac{7S}{\frac{11}{3}S} = \frac{21}{11}$

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3. 最終的な答え

(1) 三角形BCGの面積: $\frac{7}{3}S$, 三角形AFEの面積: $\frac{7}{4}S$

(2) $\frac{21}{11}$ 倍