放物線 $C: y = x^2 - 2x + 2$ に点 $P(t, 0)$ から異なる2本の接線を引き、その接点をそれぞれ $A, B$ とする。$A, B$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とする。 (1) $\alpha$ と $t$ の関係式を求めよ。 (2) 放物線 $C$, 直線 $PA, PB$ によって囲まれる図形の面積を $S$ とする。$S$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 2$ に点 $P(t, 0)$ から異なる2本の接線を引き、その接点をそれぞれ $A, B$ とする。$A, B$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とする。

(1) $\alpha$ と $t$ の関係式を求めよ。

(2) 放物線 $C$, 直線 $PA, PB$ によって囲まれる図形の面積を $S$ とする。$S$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $C: y = x^2 - 2x + 2$ 上の点 $(\alpha, \alpha^2 - 2\alpha + 2)$ における接線の方程式は、

$y' = 2x - 2$ より、$y - (\alpha^2 - 2\alpha + 2) = (2\alpha - 2)(x - \alpha)$

$y = (2\alpha - 2)x - \alpha^2 + 2$

この接線が点 $P(t, 0)$ を通るので、

$0 = (2\alpha - 2)t - \alpha^2 + 2$

$\alpha^2 - 2t\alpha + 2t - 2 = 0$

この2次方程式の解が $\alpha$ と $\beta$ なので、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2t$

$\alpha\beta = 2t - 2$

2次方程式が異なる2つの実数解を持つ必要があるので、判別式を $D$ とすると、

$D/4 = t^2 - (2t - 2) > 0$

$t^2 - 2t + 2 > 0$

$(t - 1)^2 + 1 > 0$

これは常に成り立つ。

点 $P(t, 0)$ から異なる2本の接線を引けるための条件は $t^2 - 2t + 2 > 0$ であるが、問題文より条件は満たされている。

(2)

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - 2x + 2 - (2\alpha - 2)x + \alpha^2 - 2) dx + \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - 2x + 2 - (2\beta - 2)x + \beta^2 - 2) dx$

しかし、共通接線の方程式は上記で求めた $\alpha^2 - 2t\alpha + 2t - 2 = 0$ の解 $\alpha, \beta$ を用いると考えるのが難しいので、放物線Cと直線PA、PBで囲まれた面積を求める。直線PAの方程式は $y = (2\alpha-2)(x-t)$であり、PBの方程式は $y = (2\beta-2)(x-t)$である。

$S = \int_\alpha^\beta (x^2 - 2x + 2 - (2t-2)x - 2t + 2) dx = \int_\alpha^\beta (x^2 - 2tx + 2t) dx = \frac{(\beta - \alpha)^3}{6}$

$\beta - \alpha = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{(2t)^2 - 4(2t - 2)} = \sqrt{4t^2 - 8t + 8} = 2\sqrt{t^2 - 2t + 2} = 2\sqrt{(t - 1)^2 + 1}$

$S = \frac{1}{6} (2\sqrt{(t - 1)^2 + 1})^3 = \frac{8}{6} ((t - 1)^2 + 1)^{3/2} = \frac{4}{3} ((t - 1)^2 + 1)^{3/2}$

$S$ が最小となるのは $(t - 1)^2 = 0$ のとき、つまり $t = 1$ のときである。

$S_{min} = \frac{4}{3} (0 + 1)^{3/2} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 - 2t\alpha + 2t - 2 = 0$

(2) $\frac{4}{3}$