次の2つの関数の導関数を求める問題です。 (a) $y = x^x$ ($x > 0$) (b) $y = \arctan x$

1. 問題の内容

次の2つの関数の導関数を求める問題です。

(a) $y = x^x$ ($x > 0$)

(b) $y = \arctan x$

2. 解き方の手順

(a) $y = x^x$ の導関数を求める。

まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分なので、$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$ となります。右辺は積の微分法を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

よって、$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

(b) $y = \arctan x$ の導関数を求める。

$y = \arctan x$ より、$x = \tan y$ となります。

両辺を $x$ で微分すると、

$1 = \frac{d}{dx} \tan y = (\sec^2 y) \frac{dy}{dx}$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$

ここで、$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ であり、$\tan y = x$ なので、

$\sec^2 y = 1 + x^2$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

3. 最終的な答え

(a) $y = x^x$ ($x > 0$) の導関数は $\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

(b) $y = \arctan x$ の導関数は $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$