与えられた関数 $f(x)$ を、極限を用いて微分する問題です。具体的には、 (1) $f(x) = x^2 - 1$ (2) $f(x) = x(x-1)$ (3) $f(x) = \frac{1}{x+1}$ (4) $f(x) = (x+3)^2$ の4つの関数について、それぞれ微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ を、極限を用いて微分する問題です。具体的には、

(1) $f(x) = x^2 - 1$

(2) $f(x) = x(x-1)$

(3) $f(x) = \frac{1}{x+1}$

(4) $f(x) = (x+3)^2$

の4つの関数について、それぞれ微分を求めます。

2. 解き方の手順

微分を極限を用いて求める公式は次の通りです。

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

各関数について、この公式を適用していきます。

(1) $f(x) = x^2 - 1$の場合：

$f(x+h) = (x+h)^2 - 1 = x^2 + 2xh + h^2 - 1$

$f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 - 1) - (x^2 - 1) = 2xh + h^2$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

(2) $f(x) = x(x-1) = x^2 - x$の場合：

$f(x+h) = (x+h)^2 - (x+h) = x^2 + 2xh + h^2 - x - h$

$f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 - x - h) - (x^2 - x) = 2xh + h^2 - h$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2 - h}{h} = 2x + h - 1$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h - 1) = 2x - 1$

(3) $f(x) = \frac{1}{x+1}$の場合：

$f(x+h) = \frac{1}{(x+h)+1} = \frac{1}{x+h+1}$

$f(x+h) - f(x) = \frac{1}{x+h+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) - (x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)} = \frac{-h}{(x+h+1)(x+1)}$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{-h}{h(x+h+1)(x+1)} = \frac{-1}{(x+h+1)(x+1)}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{(x+h+1)(x+1)} = \frac{-1}{(x+1)(x+1)} = -\frac{1}{(x+1)^2}$

(4) $f(x) = (x+3)^2$の場合：

$f(x) = x^2 + 6x + 9$

$f(x+h) = (x+h+3)^2 = (x+h)^2 + 6(x+h) + 9 = x^2 + 2xh + h^2 + 6x + 6h + 9$

$f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 + 6x + 6h + 9) - (x^2 + 6x + 9) = 2xh + h^2 + 6h$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2 + 6h}{h} = 2x + h + 6$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h + 6) = 2x + 6$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 2x$

(2) $f'(x) = 2x - 1$

(3) $f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$

(4) $f'(x) = 2x + 6$