$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ を求めよ。ただし、$\alpha$ は実数とする。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ を求めよ。ただし、$\alpha$ は実数とする。

2. 解き方の手順

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{-\alpha} dx$ を計算する。

まず、$\alpha \neq 1$ の場合を考える。

$\int_{1}^{t} x^{-\alpha} dx = \left[ \frac{x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1} \right]_{1}^{t} = \frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{1}{1-\alpha}$

したがって、

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \lim_{t \to \infty} \left( \frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{1}{1-\alpha} \right)$

この極限が存在するためには、$1-\alpha < 0$ である必要がある。つまり、$\alpha > 1$ でなければならない。

このとき、$\lim_{t \to \infty} t^{1-\alpha} = 0$ となるので、

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = - \frac{1}{1-\alpha} = \frac{1}{\alpha - 1}$

次に、$\alpha = 1$ の場合を考える。

$\int_{1}^{t} \frac{1}{x} dx = \left[ \ln(x) \right]_{1}^{t} = \ln(t) - \ln(1) = \ln(t)$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to \infty} \ln(t) = \infty$

したがって、$\alpha = 1$ のときは積分は発散する。

まとめると、$\alpha > 1$ のとき積分は収束し、$\alpha \le 1$ のとき積分は発散する。

3. 最終的な答え

$\alpha > 1$ のとき、$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \frac{1}{\alpha - 1}$

$\alpha \le 1$ のとき、積分は発散する。