数列 $a_n = \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n$ の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $a_n = \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n$ の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_n$ を次のように変形します。

$a_n = \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n = \left(1 + \frac{2}{n+1}\right)^n$

ここで、$n+1=t$ とおくと、$n = t-1$ となり、$n \to \infty$ のとき $t \to \infty$ です。

よって、

$a_n = \left(1 + \frac{2}{t}\right)^{t-1} = \left(1 + \frac{2}{t}\right)^t \left(1 + \frac{2}{t}\right)^{-1}$

ここで、$t \to \infty$ のとき、$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{2}{t}\right)^t = e^2$ であり、$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{2}{t}\right)^{-1} = 1$ です。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{2}{t}\right)^t \left(1 + \frac{2}{t}\right)^{-1} = e^2 \cdot 1 = e^2$

3. 最終的な答え

$e^2$