曲線 $y = -x^2 + 1$、直線 $x=2$、およびx軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^2 + 1$、直線 $x=2$、およびx軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲を決定します。曲線 $y = -x^2 + 1$ とx軸との交点を求めます。

$y=0$ とおくと、

$-x^2 + 1 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

したがって、曲線は $x = -1$ と $x = 1$ でx軸と交わります。

問題の図から、$x$ が $1$ から $2$ の範囲での面積を求めればよいことがわかります。この範囲では、$y$ は負の値をとります。面積を計算する際、負の面積を正に変換するために、絶対値をとります。

求める面積 $S$ は、以下の積分で計算できます。

$$S = \int_{1}^{2} | -x^2 + 1 | dx = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx$$

積分を計算します。

$$S = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{2}$$

$x = 2$ を代入します。

$$\frac{2^3}{3} - 2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$$

$x = 1$ を代入します。

$$\frac{1^3}{3} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3}$$

面積 $S$ を求めます。

$$S = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$

3. 最終的な答え

$S = \frac{4}{3}$