与えられた極限を計算します。ここで $[x]$ はガウス記号を表し、$x$ を超えない最大の整数を表します。 $\lim_{x \to \infty} \frac{[x]}{x}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。ここで $[x]$ はガウス記号を表し、$x$ を超えない最大の整数を表します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{[x]}{x}$

2. 解き方の手順

$x$ が十分に大きい場合、整数 $n$ が存在して $n \le x < n+1$ が成り立ちます。ガウス記号の定義より、$[x] = n$ となります。

$n \le x < n+1$ より、

$\frac{n}{x} \le 1 < \frac{n+1}{x}$ が成り立ちます。

また、$[x] = n$ であるから、

$\frac{[x]}{x} = \frac{n}{x}$

となります。

$x \to \infty$ のとき、$n \to \infty$ であることを考慮すると、

$n \le x < n+1$ より、$1 \le \frac{x}{n} < 1 + \frac{1}{n}$ となります。

したがって、

$\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} < \frac{n}{x} \le 1$

となります。

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \to 1$ となるため、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{[x]}{x} = 1$

となります。

3. 最終的な答え

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