問題は、極限 $\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{\sin(x-a)}$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{\sin(x-a)}$ を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の差の公式を用いて、$\sin x - \sin a$ を変形します。

$\sin x - \sin a = 2 \cos \frac{x+a}{2} \sin \frac{x-a}{2}$

次に、与えられた極限を書き換えます。

$\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{\sin(x-a)} = \lim_{x \to a} \frac{2 \cos \frac{x+a}{2} \sin \frac{x-a}{2}}{\sin(x-a)}$

ここで、$x-a = h$ と置くと、$x = a+h$ であり、$x \to a$ のとき $h \to 0$ です。よって、

$\lim_{x \to a} \frac{2 \cos \frac{x+a}{2} \sin \frac{x-a}{2}}{\sin(x-a)} = \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos \frac{a+h+a}{2} \sin \frac{h}{2}}{\sin h} = \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos (a+\frac{h}{2}) \sin \frac{h}{2}}{\sin h}$

$\sin h = 2 \sin \frac{h}{2} \cos \frac{h}{2}$ を用いると、

$\lim_{h \to 0} \frac{2 \cos (a+\frac{h}{2}) \sin \frac{h}{2}}{2 \sin \frac{h}{2} \cos \frac{h}{2}} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos (a+\frac{h}{2})}{\cos \frac{h}{2}}$

$h \to 0$ のとき、$\frac{h}{2} \to 0$ なので、

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos (a+\frac{h}{2})}{\cos \frac{h}{2}} = \frac{\cos (a+0)}{\cos 0} = \frac{\cos a}{1} = \cos a$

3. 最終的な答え

$\cos a$