$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{x + \sin x}$ の極限を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{x + \sin x}$ の極限を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用できるように、分子と分母を$x$で割ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{x + \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(7x)}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{\sin x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(7x)}{x}}{1 + \frac{\sin x}{x}}$

次に、$\frac{\sin(7x)}{x}$ の部分を $\frac{\sin(7x)}{7x} \cdot 7$ と変形することで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{7x} = 1$ を利用できるようにします。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(7x)}{7x} \cdot 7}{1 + \frac{\sin x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{7x} \cdot 7}{\lim_{x \to 0} (1 + \frac{\sin x}{x})}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{7x} = 1$ と $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を代入します。

$\frac{1 \cdot 7}{1 + 1} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{2}$