与えられた定積分を計算する問題です。 (1) $\int_0^1 x(2x-1)^4 dx$ (2) $\int_0^1 \frac{t}{(t+1)^3} dt$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。

(1) $\int_0^1 x(2x-1)^4 dx$

(2) $\int_0^1 \frac{t}{(t+1)^3} dt$

2. 解き方の手順

(1) まず、$u = 2x-1$ と置換します。すると、$du = 2 dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$ です。また、$x = \frac{u+1}{2}$ となります。

積分範囲も変更します。$x=0$ のとき、$u = 2(0)-1 = -1$、$x=1$ のとき、$u = 2(1)-1 = 1$ です。

したがって、

$\int_0^1 x(2x-1)^4 dx = \int_{-1}^1 \frac{u+1}{2} u^4 \frac{1}{2} du = \frac{1}{4} \int_{-1}^1 (u^5+u^4) du$

ここで、$u^5$ は奇関数、$u^4$ は偶関数であるため、

$\int_{-1}^1 u^5 du = 0$

$\int_{-1}^1 u^4 du = 2 \int_0^1 u^4 du = 2 \left[ \frac{1}{5} u^5 \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$

よって、

$\frac{1}{4} \int_{-1}^1 (u^5+u^4) du = \frac{1}{4} \cdot (0 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{10}$

(2) $u = t+1$ と置換します。すると、$du = dt$ となり、$t = u-1$ となります。

積分範囲も変更します。$t=0$ のとき、$u = 0+1 = 1$、$t=1$ のとき、$u = 1+1 = 2$ です。

したがって、

$\int_0^1 \frac{t}{(t+1)^3} dt = \int_1^2 \frac{u-1}{u^3} du = \int_1^2 (u^{-2} - u^{-3}) du$

$= \left[ -u^{-1} - \frac{1}{-2} u^{-2} \right]_1^2 = \left[ -\frac{1}{u} + \frac{1}{2u^2} \right]_1^2$

$= \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2(2^2)} \right) - \left( -\frac{1}{1} + \frac{1}{2(1^2)} \right) = \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{8} \right) - \left( -1 + \frac{1}{2} \right)$

$= -\frac{3}{8} - \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{10}$

(2) $\frac{1}{8}$