与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \tan x$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \tan x$$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\pi}{2} - x = t$ と置換します。すると、$x \to \frac{\pi}{2} - 0$ のとき、$t \to +0$となります。

また、$x = \frac{\pi}{2} - t$ となります。したがって、極限は以下のようになります。

$$\lim_{t \to +0} t \tan \left( \frac{\pi}{2} - t \right)$$

三角関数の性質より、$\tan \left( \frac{\pi}{2} - t \right) = \cot t = \frac{1}{\tan t}$ が成り立ちます。

したがって、極限は以下のようになります。

$$\lim_{t \to +0} t \cot t = \lim_{t \to +0} \frac{t}{\tan t}$$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = 1$ であることを利用すると、

$$\lim_{t \to +0} \frac{t}{\tan t} = \frac{1}{\lim_{t \to +0} \frac{\tan t}{t}} = \frac{1}{1} = 1$$

3. 最終的な答え

最終的な答えは 1 です。