関数 $y = x + \sqrt{4-x^2}$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x + \sqrt{4-x^2}$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数の定義域を求めます。根号の中身が非負である必要があるので、$4-x^2 \geq 0$ より、$x^2 \leq 4$ となり、$-2 \leq x \leq 2$ が定義域となります。

次に、関数を微分して、極値を求めます。

$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = 1 - \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{\sqrt{4-x^2} - x}{\sqrt{4-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$\sqrt{4-x^2} - x = 0$

$\sqrt{4-x^2} = x$

両辺を二乗して、$4-x^2 = x^2$

$2x^2 = 4$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}$ (∵ $\sqrt{4-x^2} = x \geq 0$)

定義域の端点 $x = -2, 2$ と極値を与える点 $x = \sqrt{2}$ における $y$ の値を計算します。

$x = -2$ のとき、$y = -2 + \sqrt{4 - (-2)^2} = -2 + 0 = -2$

$x = 2$ のとき、$y = 2 + \sqrt{4 - 2^2} = 2 + 0 = 2$

$x = \sqrt{2}$ のとき、$y = \sqrt{2} + \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1.414 = 2.828$ であるので、最大値は $2\sqrt{2}$、最小値は $-2$ となります。

3. 最終的な答え

最大値: $2\sqrt{2}$

最小値: $-2$