練習問題の(3)として与えられた関数 $y = \sin^{-1}\sqrt{x}$ ($0 < x < 1$) を微分する問題です。

1. 問題の内容

練習問題の(3)として与えられた関数 $y = \sin^{-1}\sqrt{x}$ ($0 < x < 1$) を微分する問題です。

2. 解き方の手順

$y = \sin^{-1}\sqrt{x}$ を微分するために、合成関数の微分を利用します。

まず、$u = \sqrt{x}$ とおくと、$y = \sin^{-1}u$ となります。

$\frac{dy}{dx}$ を求めるために、連鎖律 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} (\sin^{-1}u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{x}) = \frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1 - x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}}$