関数 $y = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ のグラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ のグラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

1. 定義域を確認します。分母が0にならないように、$x^2 - 4 \neq 0$、つまり $x \neq \pm 2$。したがって、定義域は $x \neq \pm 2$ です。

2. 対称性を調べます。

$f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x^3}{x^2 - 4} = -f(x)$

したがって、この関数は奇関数であり、原点に関して対称です。

3. 漸近線を求めます。

* 垂直漸近線：分母が0になる $x = \pm 2$ が垂直漸近線です。

* 斜め漸近線：$\frac{x^3}{x^2 - 4}$ を割り算すると、

$x^3 = (x^2 - 4)x + 4x$

$\frac{x^3}{x^2 - 4} = x + \frac{4x}{x^2 - 4}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{4x}{x^2 - 4} \to 0$ なので、$y = x$ が斜め漸近線です。

4. 増減を調べます。

$y' = \frac{3x^2(x^2 - 4) - x^3(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{3x^4 - 12x^2 - 2x^4}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^4 - 12x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^2(x^2 - 12)}{(x^2 - 4)^2}$

$y' = 0$ となるのは $x = 0, \pm 2\sqrt{3}$ のときです。

$y'' = \frac{d}{dx}\frac{x^4 - 12x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{(4x^3-24x)(x^2-4)^2-(x^4-12x^2)2(x^2-4)(2x)}{(x^2-4)^4} = \frac{(4x^3-24x)(x^2-4)-4x(x^4-12x^2)}{(x^2-4)^3}= \frac{4x^5-16x^3-24x^3+96x-4x^5+48x^3}{(x^2-4)^3}= \frac{8x^3+96x}{(x^2-4)^3}= \frac{8x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$

$y''=0$ となるのは $x = 0$ のときです。

5. 増減表を書きます。

(省略)

6. グラフを描きます。

* $x = \pm 2$ に垂直漸近線

* $y = x$ に斜め漸近線

* 原点に関して対称

* $x = 0$ で $y=0$

* $x = \pm 2\sqrt{3}$ で極値

3. 最終的な答え

グラフの概形は、上記の手順に従って描画されます。 特に、$x=2\sqrt{3}$ で極大、$x=-2\sqrt{3}$で極小となります。グラフの具体的な形状は、漸近線と増減表に基づいて描いてください。