次の曲線の漸近線の方程式を求める問題です。 $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

1. 問題の内容

次の曲線の漸近線の方程式を求める問題です。

$y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

2. 解き方の手順

漸近線を求めるには、xを正または負の無限大に近づけたときのyの値を確認します。

(i) $x \to \infty$ のとき:

$y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}} = \frac{x}{|x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}$

$x > 0$ の場合、$|x| = x$ となり、

$y = \frac{x}{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} y = \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} = 1$

したがって、$x \to \infty$ のとき、漸近線は $y = 1$ です。

(ii) $x \to -\infty$ のとき:

$y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}} = \frac{x}{|x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}$

$x < 0$ の場合、$|x| = -x$ となり、

$y = \frac{x}{-x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to -\infty} y = -\frac{1}{\sqrt{1 + 0}} = -1$

したがって、$x \to -\infty$ のとき、漸近線は $y = -1$ です。

3. 最終的な答え

漸近線の方程式は、$y = 1$ と $y = -1$ です。