関数 $y = \tan\left(\frac{x+1}{x^2}\right)$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan\left(\frac{x+1}{x^2}\right)$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$u = \frac{x+1}{x^2}$ とおく。すると、$y = \tan u$ となる。

合成関数の微分法より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

である。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} (\tan u) = \frac{1}{\cos^2 u}$

である。

次に、$\frac{du}{dx}$ を求める。$u = \frac{x+1}{x^2}$ であるから、商の微分法を用いると、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{x^2}\right) = \frac{1 \cdot x^2 - (x+1) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x^2 - 2x^2 - 2x}{x^4} = \frac{-x^2 - 2x}{x^4} = \frac{-x(x+2)}{x^4} = \frac{-(x+2)}{x^3}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot \frac{-(x+2)}{x^3} = \frac{1}{\cos^2 \left(\frac{x+1}{x^2}\right)} \cdot \frac{-(x+2)}{x^3} = \frac{-(x+2)}{x^3\cos^2 \left(\frac{x+1}{x^2}\right)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x+2}{x^3\cos^2\left(\frac{x+1}{x^2}\right)}$