定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\cos^{3}{x}dx$ を求めよ。

## 数学の問題

1. **問題の内容**

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\cos^{3}{x}dx$ を求めよ。

2. **解き方の手順**

1. $\cos{x} = t$ とおく。

2. 両辺を $x$ で微分すると、$\frac{dt}{dx} = -\sin{x}$ となる。したがって、$-\sin{x}dx = dt$ である。

3. $x$ の積分範囲が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ であるので、$t$ の積分範囲は、$\cos{0} = 1$ から $\cos{\frac{\pi}{2}} = 0$ となる。

4. したがって、与えられた定積分は次のように書き換えられる。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\cos^{3}{x}dx = \int_{1}^{0} t^{3}(-dt)$$

5. 積分の順序を反転させると符号が変わるので、

$$\int_{1}^{0} t^{3}(-dt) = -\int_{1}^{0} t^3 dt = \int_{0}^{1} t^{3}dt$$

6. $t^{3}$ の不定積分は $\frac{t^{4}}{4}$ であるから、

$$\int_{0}^{1} t^{3}dt = \left[ \frac{t^{4}}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} = \frac{1}{4}$$

3. **最終的な答え**

$\frac{1}{4}$