関数 $f(x) = (\log_2 x)(\log_2 x - 2)$ が与えられています。 (1) $f(8)$ と $f(\frac{1}{8})$ の値を求めます。 (2) 方程式 $f(x) = 3$ を解きます。 (3) 異なる正の実数 $a, b$ が $f(a) = f(b)$ を満たしながら変化するとき、$b$ を $a$ を用いて表し、このとき $y = (\frac{1}{2})^a (\frac{1}{4})^b$ の最大値と、そのときの $a, b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (\log_2 x)(\log_2 x - 2)$ が与えられています。

(1) $f(8)$ と $f(\frac{1}{8})$ の値を求めます。

(2) 方程式 $f(x) = 3$ を解きます。

(3) 異なる正の実数 $a, b$ が $f(a) = f(b)$ を満たしながら変化するとき、$b$ を $a$ を用いて表し、このとき $y = (\frac{1}{2})^a (\frac{1}{4})^b$ の最大値と、そのときの $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(8)$ と $f(\frac{1}{8})$ の値を計算します。

$f(8) = (\log_2 8)(\log_2 8 - 2) = (3)(3-2) = 3$

$f(\frac{1}{8}) = (\log_2 \frac{1}{8})(\log_2 \frac{1}{8} - 2) = (-3)(-3-2) = (-3)(-5) = 15$

(2) 方程式 $f(x) = 3$ を解きます。

$(\log_2 x)(\log_2 x - 2) = 3$

$(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x - 3 = 0$

$(\log_2 x - 3)(\log_2 x + 1) = 0$

$\log_2 x = 3$ または $\log_2 x = -1$

$x = 2^3 = 8$ または $x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

(3) $f(a) = f(b)$ より

$(\log_2 a)(\log_2 a - 2) = (\log_2 b)(\log_2 b - 2)$

$(\log_2 a)^2 - 2\log_2 a = (\log_2 b)^2 - 2\log_2 b$

$(\log_2 a)^2 - (\log_2 b)^2 - 2(\log_2 a - \log_2 b) = 0$

$(\log_2 a - \log_2 b)(\log_2 a + \log_2 b) - 2(\log_2 a - \log_2 b) = 0$

$(\log_2 a - \log_2 b)(\log_2 a + \log_2 b - 2) = 0$

$a \neq b$ より $\log_2 a \neq \log_2 b$ なので $\log_2 a - \log_2 b \neq 0$

したがって $\log_2 a + \log_2 b - 2 = 0$

$\log_2 (ab) = 2$

$ab = 2^2 = 4$

$b = \frac{4}{a}$

$y = (\frac{1}{2})^a (\frac{1}{4})^b = (2^{-1})^a (2^{-2})^b = 2^{-a} 2^{-2b} = 2^{-(a+2b)}$

$a + 2b = a + 2(\frac{4}{a}) = a + \frac{8}{a}$

$g(a) = a + \frac{8}{a}$ とおくと、$g'(a) = 1 - \frac{8}{a^2}$

$g'(a) = 0$ とすると $a^2 = 8$ より $a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ (∵ $a > 0$)

$g(2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + \frac{8}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} + \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

$a = 2\sqrt{2}$ のとき $b = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$y = 2^{-4\sqrt{2}} = (\frac{1}{2})^{4\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $f(8) = 3$, $f(\frac{1}{8}) = 15$

(2) $x = 8, \frac{1}{2}$

(3) $b = \frac{4}{a}$

最大値: $(\frac{1}{2})^{4\sqrt{2}}$

$a = 2\sqrt{2}$, $b = \sqrt{2}$