以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 4x + 4}{x^3 + 8}$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 4x + 4}{x^3 + 8}$

2. 解き方の手順

$x \to -\infty$ の極限を求める場合、分子と分母をそれぞれ $x$ の最高次数で割るのが一般的な手法です。この場合、分母の最高次数は $x^3$ です。そこで、分子と分母を $x^3$ で割ります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 4x + 4}{x^3 + 8} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x^2}{x^3} - \frac{4x}{x^3} + \frac{4}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} + \frac{8}{x^3}}$

整理すると、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{1 + \frac{8}{x^3}}$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$, $\frac{4}{x^2} \to 0$, $\frac{4}{x^3} \to 0$, $\frac{8}{x^3} \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{1 + \frac{8}{x^3}} = \frac{0 - 0 + 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0$

3. 最終的な答え

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