3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$ が $x=4$ で極小値0をとるとき、(1) $a, b$ の値を求め、極大となる $x$ の値と極大値を求める。(2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求め、点A(1, 8)から曲線 $y=f(x)$ に引いた接線の方程式を求める。さらに、点P(0, p)から曲線 $y=f(x)$ に異なる3本の接線が引けるときの定数 $p$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$ が $x=4$ で極小値0をとるとき、(1) $a, b$ の値を求め、極大となる $x$ の値と極大値を求める。(2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求め、点A(1, 8)から曲線 $y=f(x)$ に引いた接線の方程式を求める。さらに、点P(0, p)から曲線 $y=f(x)$ に異なる3本の接線が引けるときの定数 $p$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$ とする。

$f(4) = 0$ より、

$4^3 + a(4^2) + b(4) - 16 = 0$

$64 + 16a + 4b - 16 = 0$

$16a + 4b = -48$

$4a + b = -12$ (1)

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f'(4) = 0$ より、

$3(4^2) + 2a(4) + b = 0$

$48 + 8a + b = 0$

$8a + b = -48$ (2)

(2) - (1) より、

$4a = -36$

$a = -9$

(1) に代入して、

$4(-9) + b = -12$

$-36 + b = -12$

$b = 24$

よって、$f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16$

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 24 = 3(x^2 - 6x + 8) = 3(x-2)(x-4)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 2, 4$

増減表より、$x=2$ で極大値をとる。

$f(2) = 2^3 - 9(2^2) + 24(2) - 16 = 8 - 36 + 48 - 16 = 4$

(2) $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は、

$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

$f(t) = t^3 - 9t^2 + 24t - 16$

$f'(t) = 3t^2 - 18t + 24$

$y - (t^3 - 9t^2 + 24t - 16) = (3t^2 - 18t + 24)(x - t)$

$y = (3t^2 - 18t + 24)x - 3t^3 + 18t^2 - 24t + t^3 - 9t^2 + 24t - 16$

$y = (3t^2 - 18t + 24)x - 2t^3 + 9t^2 - 16$

この接線が点 A(1, 8) を通るので、

$8 = (3t^2 - 18t + 24)(1) - 2t^3 + 9t^2 - 16$

$8 = 3t^2 - 18t + 24 - 2t^3 + 9t^2 - 16$

$2t^3 - 12t^2 + 18t - 8 = 0$

$t^3 - 6t^2 + 9t - 4 = 0$

$(t-1)(t^2 - 5t + 4) = 0$

$(t-1)(t-1)(t-4) = 0$

$(t-1)^2(t-4) = 0$

$t = 1, 4$

$t = 1$ のとき、$f'(1) = 3 - 18 + 24 = 9$

$y = 9x - 2 + 9 - 16 = 9x - 9$

$t = 4$ のとき、$f'(4) = 0$

$y = 0x - 2(4^3) + 9(4^2) - 16 = -128 + 144 - 16 = 0$

$y = 0x + 0 = 0$

点 P(0, p) から曲線 $y = f(x)$ に異なる3本の接線が引けるとき、

$p = f(t) - tf'(t)$ とおくと、$g(t) = f(t) - tf'(t)$ が異なる3つの実数解を持てば良い。

$g(t) = t^3 - 9t^2 + 24t - 16 - t(3t^2 - 18t + 24) = -2t^3 + 9t^2 - 16$

$g'(t) = -6t^2 + 18t = -6t(t - 3)$

$g'(t) = 0$ となるのは $t = 0, 3$

$g(0) = -16$

$g(3) = -2(27) + 9(9) - 16 = -54 + 81 - 16 = 11$

よって、 $-16 < p < 11$

3. 最終的な答え

a = -9, b = 24

x = 2 のとき、極大値 4

y = $(3t^2 - 18t + 24)x - 2t^3 + 9t^2 - 16$

y = 9x - 9 または y = 0

-16 < p < 11