極限 $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 4x + 4}{x^3 + 8}$ を計算します。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 4x + 4}{x^3 + 8}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x$ が $-\infty$ に近づくときの極限を求める問題です。分子と分母をそれぞれ $x$ の最高次の項で割ることで、極限を求めやすくします。

まず、分子 $x^2 - 4x + 4$ を $x^3$ で割ると $\frac{x^2}{x^3} - \frac{4x}{x^3} + \frac{4}{x^3} = \frac{1}{x} - \frac{4}{x^2} + \frac{4}{x^3}$ となります。

次に、分母 $x^3 + 8$ を $x^3$ で割ると $\frac{x^3}{x^3} + \frac{8}{x^3} = 1 + \frac{8}{x^3}$ となります。

したがって、

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\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 4x + 4}{x^3 + 8} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{1 + \frac{8}{x^3}}

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$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to 0$, $\frac{1}{x^3} \to 0$ となるので、

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\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{1 + \frac{8}{x^3}} = \frac{0 - 0 + 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0

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3. 最終的な答え

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