与えられた関数の導関数を求める問題です。関数は $f(x) = \left( \sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)} \right)'$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。関数は $f(x) = \left( \sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)} \right)'$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を整理します。5乗根は1/5乗で表せるので、

$f(x) = \left( x^3 (x+1)^2 (x+2) \right)^{1/5}$

次に、この関数の導関数を求めます。対数微分法を使うのが便利でしょう。両辺の自然対数を取ると、

$\ln f(x) = \frac{1}{5} \ln \left( x^3 (x+1)^2 (x+2) \right)$

$\ln f(x) = \frac{1}{5} \left( \ln x^3 + \ln (x+1)^2 + \ln (x+2) \right)$

$\ln f(x) = \frac{1}{5} \left( 3 \ln x + 2 \ln (x+1) + \ln (x+2) \right)$

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{5} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$

$f'(x) = f(x) \cdot \frac{1}{5} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$

$f'(x) = \left( x^3 (x+1)^2 (x+2) \right)^{1/5} \cdot \frac{1}{5} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$

$f'(x) = \frac{1}{5} \left( x^3 (x+1)^2 (x+2) \right)^{1/5} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$

通分して整理すると、

$\frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{3(x+1)(x+2) + 2x(x+2) + x(x+1)}{x(x+1)(x+2)}$

$= \frac{3(x^2 + 3x + 2) + 2(x^2 + 2x) + x^2 + x}{x(x+1)(x+2)}$

$= \frac{3x^2 + 9x + 6 + 2x^2 + 4x + x^2 + x}{x(x+1)(x+2)}$

$= \frac{6x^2 + 14x + 6}{x(x+1)(x+2)}$

$= \frac{2(3x^2 + 7x + 3)}{x(x+1)(x+2)}$

したがって、

$f'(x) = \frac{1}{5} \left( x^3 (x+1)^2 (x+2) \right)^{1/5} \cdot \frac{2(3x^2 + 7x + 3)}{x(x+1)(x+2)}$

$f'(x) = \frac{2(3x^2 + 7x + 3)}{5 (x^3 (x+1)^2 (x+2))^{4/5} }$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{2(3x^2 + 7x + 3)}{5 (x^3 (x+1)^2 (x+2))^{4/5} }$