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3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$ が $x=4$ で極小値0をとる。 (1) $a, b$ の値を求め、さらに $f(x)$ が極大となるときの $x$ の値と、極大値を求める。 (2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求める。点A(1, 8) から曲線 $y=f(x)$ に引いた接線の方程式を求め、点P(0, p)から曲線 $y=f(x)$に異なる3本の接線が引けるときの $p$ の範囲を求める。

解析学微分極値接線3次関数
2025/6/12
はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

3次関数 f(x)=x3+ax2+bx−16f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16 が x=4x=4 で極小値0をとる。
(1) a,ba, b の値を求め、さらに f(x)f(x) が極大となるときの xx の値と、極大値を求める。
(2) 曲線 y=f(x)y=f(x) 上の点 (t,f(t))(t, f(t)) における接線の方程式を求める。点A(1, 8) から曲線 y=f(x)y=f(x) に引いた接線の方程式を求め、点P(0, p)から曲線 y=f(x)y=f(x)に異なる3本の接線が引けるときの pp の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)
f(x)=x3+ax2+bx−16f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16
f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b
x=4x=4 で極小値0をとるので、f(4)=0f(4) = 0 かつ f′(4)=0f'(4) = 0。
f(4)=43+a(42)+b(4)−16=64+16a+4b−16=16a+4b+48=0f(4) = 4^3 + a(4^2) + b(4) - 16 = 64 + 16a + 4b - 16 = 16a + 4b + 48 = 0
f′(4)=3(42)+2a(4)+b=48+8a+b=0f'(4) = 3(4^2) + 2a(4) + b = 48 + 8a + b = 0
連立方程式を解く。
16a+4b=−4816a + 4b = -48 -> 4a+b=−124a + b = -12
8a+b=−488a + b = -48
辺々引くと、−4a=36-4a = 36 より a=−9a = -9
b=−12−4a=−12−4(−9)=−12+36=24b = -12 - 4a = -12 - 4(-9) = -12 + 36 = 24
よって、a=−9a = -9, b=24b = 24
f(x)=x3−9x2+24x−16f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16
f′(x)=3x2−18x+24=3(x2−6x+8)=3(x−2)(x−4)f'(x) = 3x^2 - 18x + 24 = 3(x^2 - 6x + 8) = 3(x-2)(x-4)
f′(x)=0f'(x) = 0 となるのは x=2,4x=2, 4。
増減表より、x=2x=2 で極大値をとる。
f(2)=23−9(22)+24(2)−16=8−36+48−16=4f(2) = 2^3 - 9(2^2) + 24(2) - 16 = 8 - 36 + 48 - 16 = 4
よって、x=2x=2 のとき極大値4をとる。
(2)
y=f(x)=x3−9x2+24x−16y = f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16
f′(x)=3x2−18x+24f'(x) = 3x^2 - 18x + 24
点 (t,f(t))(t, f(t)) における接線の方程式は、
y−f(t)=f′(t)(x−t)y - f(t) = f'(t)(x-t)
y=(3t2−18t+24)(x−t)+t3−9t2+24t−16y = (3t^2 - 18t + 24)(x-t) + t^3 - 9t^2 + 24t - 16
y=(3t2−18t+24)x−3t3+18t2−24t+t3−9t2+24t−16y = (3t^2 - 18t + 24)x - 3t^3 + 18t^2 - 24t + t^3 - 9t^2 + 24t - 16
y=(3t2−18t+24)x−2t3+9t2−16y = (3t^2 - 18t + 24)x - 2t^3 + 9t^2 - 16
点A(1, 8)を通る接線について、8=(3t2−18t+24)(1)−2t3+9t2−168 = (3t^2 - 18t + 24)(1) - 2t^3 + 9t^2 - 16
8=3t2−18t+24−2t3+9t2−168 = 3t^2 - 18t + 24 - 2t^3 + 9t^2 - 16
2t3−12t2+18t=02t^3 - 12t^2 + 18t = 0
2t(t2−6t+9)=02t(t^2 - 6t + 9) = 0
2t(t−3)2=02t(t-3)^2 = 0
t=0,3t = 0, 3
t=0t=0 のとき、y=24x−16y = 24x - 16
t=3t=3 のとき、f′(3)=3(3)2−18(3)+24=27−54+24=−3f'(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 24 = 27 - 54 + 24 = -3
y=−3x−2(3)3+9(3)2−16=−3x−54+81−16=−3x+11y = -3x - 2(3)^3 + 9(3)^2 - 16 = -3x - 54 + 81 - 16 = -3x + 11
よって、接線の方程式は y=24x−16y = 24x - 16 または y=−3x+11y = -3x + 11
点P(0, p)を通る接線について、p=(3t2−18t+24)(0)−2t3+9t2−16p = (3t^2 - 18t + 24)(0) - 2t^3 + 9t^2 - 16
p=−2t3+9t2−16p = -2t^3 + 9t^2 - 16
g(t)=−2t3+9t2−16g(t) = -2t^3 + 9t^2 - 16 とおく。
3本の接線が存在するためには、3つの異なる tt の実数解が存在する必要がある。
g′(t)=−6t2+18t=−6t(t−3)g'(t) = -6t^2 + 18t = -6t(t-3)
g′(t)=0g'(t) = 0 となるのは t=0,3t = 0, 3
g(0)=−16g(0) = -16
g(3)=−2(3)3+9(3)2−16=−54+81−16=11g(3) = -2(3)^3 + 9(3)^2 - 16 = -54 + 81 - 16 = 11
−16<p<11-16 < p < 11

3. 最終的な答え

(1) a=−9,b=24a = -9, b = 24 , x=2x = 2 のとき極大値4
(2) y=24x−16y = 24x - 16 または y=−3x+11y = -3x + 11, −16<p<11-16 < p < 11

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