次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \frac{2 - 3x}{\sqrt{x} + x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 - 3x}{\sqrt{x} + x}$

2. 解き方の手順

$x$ が無限大に近づくときの極限を求める問題です。分子と分母を $x$ で割ることを考えます。分母は$\sqrt{x}$ と $x$ の和であることに注意します。

まず、分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 - 3x}{\sqrt{x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - 3}{\frac{\sqrt{x}}{x} + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - 3}{\frac{1}{\sqrt{x}} + 1}$

次に、$x$ が無限大に近づくとき、$\frac{2}{x}$ は0に近づき、$\frac{1}{\sqrt{x}}$ も0に近づきます。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - 3}{\frac{1}{\sqrt{x}} + 1} = \frac{0 - 3}{0 + 1} = \frac{-3}{1} = -3$

3. 最終的な答え

-3