与えられた式は $\sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)} - 3$ の導関数を求める問題です。つまり、 $\frac{d}{dx} \left( \sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)} - 3 \right)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式は $\sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)} - 3$ の導関数を求める問題です。つまり、

$\frac{d}{dx} \left( \sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)} - 3 \right)$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、定数項の微分は0なので、$\frac{d}{dx}(-3) = 0$です。したがって、導関数を求める必要があるのは $\sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)}$ の部分のみです。

$y = \sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)}$ とおきます。これを微分します。

まず、$y = (x^3(x+1)^2(x+2))^{1/5}$と書き換えます。

次に、対数微分法を用います。両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \frac{1}{5} \ln (x^3(x+1)^2(x+2))$

$\ln y = \frac{1}{5} (\ln x^3 + \ln (x+1)^2 + \ln (x+2))$

$\ln y = \frac{1}{5} (3 \ln x + 2 \ln (x+1) + \ln (x+2))$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{5} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{5} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$

$y$ に $\sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)}}{5} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$

元の式の導関数は、この結果から定数項の微分を引いたものなので、

$\frac{d}{dx} \left( \sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)} - 3 \right) = \frac{\sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)}}{5} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt[5]{x^3(x+1)^2(x+2)}}{5} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$